Question

9．下列函數(shù)中，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，滿(mǎn)足x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）的函數(shù)是（　�。�

• A． f（x）=-x³
• B． f（x）=lnx
• C． f（x）=x²+1
• D． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x

Answer 1

分析 由條件結(jié)合單調(diào)性的定義可得函數(shù)y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）為增函數(shù)．對(duì)選項(xiàng)一一加以分析，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷（0，1）內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可判斷單調(diào)性．

解答 解：當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，滿(mǎn)足x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）即為
$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
由單調(diào)性定義可得，y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）為增函數(shù)．
對(duì)于A，$\frac{f（x）}{x}$=-x²在（0，1）遞減，不滿(mǎn)足條件；
對(duì)于B，$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在（0，1）內(nèi)導(dǎo)數(shù)為正，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）遞增，滿(mǎn)足條件；
對(duì)于C，$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（0，1）內(nèi)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）遞減，不滿(mǎn)足條件；
對(duì)于D，$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}（xln\frac{1}{2}-1）}{x}$，在（0，1）內(nèi)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）遞減，不滿(mǎn)足條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意構(gòu)造函數(shù)和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．