Question

17．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{5}$，1]
• B． [$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=$\frac{y}{x+1}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，0）的斜率，
由圖象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$），此時(shí)z=$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}+1}$=$\frac{5}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），此時(shí)z=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，
故z=$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以及直線斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．