Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）．
（1）求函數(shù)的定義域、周期、和單調(diào)區(qū)間
（2）求不等式f（x）≤$\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正切函數(shù)的定義域、周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)的定義域、周期、和單調(diào)區(qū)間．
（2）不等式即 tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，可得 kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{3}$，由此求得x的范圍，可得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），可得$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}．
它的周期為$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π．
令kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得2kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{3}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為（2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$ ），k∈Z．
（2）求不等式f（x）≤$\sqrt{3}$，即 tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，∴kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{3}$，
求得2kπ-$\frac{π}{3}$＜x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，故不等式的解集為（2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查正切函數(shù)的定義域、周期性和單調(diào)性，正切函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．