Question

17．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為$\sqrt{2}$-1，離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作斜率為k的直線(xiàn)l交E于A、P兩點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求證直線(xiàn)BP過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為a-c，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為l：y=k（x-1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式和直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求法，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由題意可得a-c=$\sqrt{2}$-1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)l的方程為l：y=k（x-1），
與$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1聯(lián)立并消去y得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，
得B（x₁，-y₁），
直線(xiàn)BP的斜率為$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
直線(xiàn)BP：y+y₁=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即有y+k（x₁-1）=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即（x₂-x₁）y+2kx₁x₂-k（x₁+x₂）=k（x₁+x₂-2）x，
即有（x₂-x₁）y=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$（2-x），
令x=2，則y=0，
則直線(xiàn)BP過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．