Question

14．函數(shù)y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1在x∈[-3，2]上的值域是[$\frac{3}{4}$，57]．

Answer 1

分析 由題意可得t=（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，8]，換元可得y=t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函數(shù)可得．

解答 解：∵x∈[-3，2]，∴t=（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，8]，
換元可得y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可知y在t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，在t∈[$\frac{1}{2}$，8]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$，當(dāng)t=8時，函數(shù)取最大值57
故答案為：[$\frac{3}{4}$，57]

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，涉及換元法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．