Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{14}$，且sinC=3sin2A+sin（A-B），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，由sinA≠0，可求tanC=$\sqrt{3}$，結合范圍0＜C＜π，即可求得C的值．
（2）由已知可得2cosAsinB=6sinAcosA，當cosA≠0時，解得b=3a，利用余弦定理可求a，b，根據三角形面積公式即可得解，當cosA=0時，可求A=90°，求得b=ctan30°的值，即可解得三角形面積．

解答 解：（1）∵csinA=$\sqrt{3}$acosC．由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵sinA≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵sinC=sin（π-A-B）=3sin2A+sin（A-B），
∴2cosAsinB=6sinAcosA，
當cosA≠0時，sinB=3sinA，∴b=3a，
${c}^{2}=14={a}^{2}+^{2}-2ab•\frac{1}{2}=7{a}^{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$3\sqrt{2}$，S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當cosA=0時，A=90°，b=ctan30°=$\frac{\sqrt{42}}{3}$，S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$…12分

點評 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函數值的應用，考查了三角函數恒等變換的應用，屬于基本知識的考查．