Question

18．已知z₁、z₂是兩個虛數(shù)，且z₁+z₂與z₁z₂均為實數(shù)，求證：z₁、z₂是共軛復(fù)數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)出復(fù)數(shù)z₁、z₂，由z₁、z₂是虛數(shù)，且z₁+z₂與z₁z₂均為實數(shù)列式求得兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部的關(guān)系得答案．

解答 證明：設(shè)z₁=a+bi（a，b∈R），z₂=c+di（c，d∈R），
則z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i，
z₁z₂=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，
∵z₁+z₂與z₁z₂均為實數(shù)，
∴b+d=0，d=-b，
z₂=c-bi，
則z₁z₂=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i
=（ac+b²）+（bc-ab）i是實數(shù)，
∴bc-ab=0，
又z₁=a+bi是虛數(shù)，∴b≠0，∴c-a=0，即c=a，
∴z₁=a+bi，z₂=a-bi，z₁、z₂是共軛虛數(shù)．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．