Question

7．世界園藝博覽會將在陜西西安浐灞生態(tài)區(qū)舉行，為了接待來自國內(nèi)外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不僅要有一定的氣質(zhì)，還需有豐富的人文、地理、歷史等文化知識．志愿者的選拔分面試和知識問答兩場，先是面試，面試通過后每人積60分，然后進入知識問答．知識問答有A，B，C，D四個題目，答題者必須按A，B，C，D順序依次進行，答對A，B，C，D四題分別得20分、20分、40分、60分，每答錯一道題扣20分，總得分在面試60分的基礎(chǔ)上加或減．答題時每人總分達到100分或100分以上，直接錄用不再繼續(xù)答題；當四道題答完總分不足100分時不予錄用．
假設志愿者甲面試已通過且第二輪對A，B，C，D四個題回答正確的概率依次是$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知識問答結(jié)束時答題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被錄用的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 寫出志愿者甲在知識問答結(jié)束時答題的個數(shù)X的可能取值，求出各自的概率，得出分布列．
（Ⅱ） 志愿者甲能被錄用的概率利用相互獨立事件的概率求法．

解答 解：設某題M答對記為“M”，答錯記為“$\overline M$”
（Ⅰ） X的可能取值為2，3，4$P（{X=3}）=P（\overline ABC+A\overline BC）=\frac{1}{6}$$P（{X=4}）=1-P（{ξ=2}）-P（{ξ=3}）=\frac{7}{12}$$或P（{X=4}）=P（\overline A\overline BC（{D+\overline D}）+\overline AB\overline C（{D+\overline D}）+A\overline B\overline C（{D+\overline D}）+\overline A\overline B\overline C（{D+\overline D}））=\frac{7}{12}$
X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$

（Ⅱ） 志愿者甲能被錄用的概率$P=P（AB+\overline ABC+A\overline BC+\overline A\overline BCD+\overline AB\overline CD+A\overline B\overline CD）$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{25}{48}$-------（12分）
或$P=P（1-A\overline B\overline C\overline D+\overline A\overline BC\overline D+\overline AB\overline C\overline D+\overline A\overline B\overline C（D+\overline D）$=$\frac{25}{48}$-------（12分）

點評 本題主要考查隨機變量的分布列和相互獨立事件的概率求法，屬于中檔題型，高考時有涉及．