Question

1．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{{x}^{2}}，x∈（-∞，-\frac{1}{2}）\\ ln（x+1），x∈[-\frac{1}{2}，+∞）\end{array}\right.$，g（x）=x²-4x-4，對于任意的a∈R，存在實數b使得f（a）+g（b）=0，則b的取值范圍是（　　）

• A． [ln$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-1，ln$\frac{1}{2}$]
• C． （-1，5）
• D． [-1，5]

Answer 1

分析 利用基本不等式和對數函數的單調性，求出函數f（x）值域，進而根據存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得實數b的取值范圍．

解答 解：當x＜-$\frac{1}{2}$時，2x+1＜0，令t=2x+1，則t＜0，且x=$\frac{t-1}{2}$，
則$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{t}{（\frac{t-1}{2}）^{2}}$=$\frac{t}{\frac{1}{4}（{t}^{2}-2t+1）}$=$\frac{4}{t+\frac{1}{t}-2}$，
∵t＜0，∴t+$\frac{1}{t}$≤-2，t+$\frac{1}{t}$-2≤-4，
即$\frac{4}{t+\frac{1}{t}-2}$∈[-1，0），
當x≥-$\frac{1}{2}$，ln（x+1）≥ln（-$\frac{1}{2}$+1）=ln$\frac{1}{2}$，
綜上f（x）≥-1．
存在實數b使得f（a）+g（b）=0，
則g（b）=-f（a），
則滿足g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得-1≤b≤5，
故b的取值范圍是[-1，5]，
故選：D

點評 本題考查的知識點是分段函數，函數的值域，基本不等式，對數函數的性質，存在性問題，二次不等式，是函數和不等式較為綜合的應用．