Question

13．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-5，-4]上是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（　�。�

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件能夠得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且在[0，1]上單調(diào)遞增，再根據(jù)α，β為銳角三角形的兩個銳角即可得到1＞sin＞cosβ＞0，從而根據(jù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可得出f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：由f（x+1）=-f（x）得，f（x+2）=f（x）；
∴f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
∵f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[-5，-4]上是減函數(shù)；
∴f（x）在[4，5]上為增函數(shù)；
4≤x≤5，0≤x-4≤1；
∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)；
α，β是銳角三角形的兩個銳角；
∴$α+β＞\frac{π}{2}$；
∴$α＞\frac{π}{2}-β$，且$α，\frac{π}{2}-β∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$sinα＞sin（\frac{π}{2}-β）=cosβ$，且sinα，cosβ∈（0，1）；
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故選：A．

點評 考查周期函數(shù)的定義，偶函數(shù)的定義，以及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點，知道周期函數(shù)經(jīng)過k個周期后，該函數(shù)單調(diào)性不變，銳角三角形兩內(nèi)角和的范圍，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義的運用．