Question

10．等差數(shù)列{a_n}中，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，若其前n項和S_n有最大值，則當(dāng)S_n取最小正值時，n=（　　）

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 由數(shù)列的前n項和S_n有最大值，可知數(shù)列為遞減數(shù)列，再由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，可得a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得使S_n取最小正值時的n值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，它的前n項和S_n有最大值，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，
∴a₁＞0，公差d＜0，
由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得$\frac{{a}_{11}+{a}_{10}}{{a}_{10}}＜0$，
∴a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0．
∴S_n=an²+bn中其對稱軸n=-$\frac{2a}$=10，
又S₁₉=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=19a₁₀＞0，而S₂₀=$\frac{20（{a}_{10}+{a}_{11}）}{2}$＜0，
1與19距離對稱軸n=10的距離相等，
∴S₁=S₁₉．
∴使S_n取得最小正數(shù)的n=1或n=19．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了二次函數(shù)求最值的方法，是中檔題．