Question

14．正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，求側(cè)面與底面所成的角．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，交AB于E，作DF⊥平面ABC，交CE于F，由已知得∠DEC是側(cè)面ABD與底面ABC所成的角，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵D-ABC是正三棱錐，∴△ABC是等邊三角形，
作CE⊥AB，交AB于E，作DF⊥平面ABC，交CE于F，
連結(jié)DE，則DE⊥AB，∴∠DEC是側(cè)面ABD與底面ABC所成的角，
設(shè)AB=2，則EF=$\frac{1}{3}CE=\frac{1}{3}\sqrt{4-2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，
∴3×$\frac{1}{2}×AB×SE=2×\frac{1}{2}×AB×CE$，
∴3SE=2CE=2$\sqrt{3}$，∴SE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠DEF=$\frac{EF}{SE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DEF=60°．

點評 本題考查正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．