Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y=1；
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（1）=a=1，f′（1）=2a-b=0，解出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-$\frac{x}$，
f（1）=a=1，f′（1）=2a-b=0①，
將a=1代入2a-b=0，解得：b=2；
（2）由（1）得：f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．