Question

20．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{14}$，試求實數(shù)m值．
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心和半徑，根據(jù)垂徑定理列出方程解出m；
（2）求出曲線C的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入x+2y得到關(guān)于參數(shù)得三角函數(shù)，使用三角函數(shù)的性質(zhì)得出最值．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：y=x-m．即x-y-m=0．
∵|AB|=$\sqrt{14}$，∴圓心到直線l的距離（弦心距）d=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即$\frac{|2-0-m|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m=1或m=3．
（2）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∵M(jìn)（x，y）為曲線C上任意一點，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2$\sqrt{5}$sin（θ+φ）．
∴x+2y的取值范圍是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．