Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1與定點(diǎn)A（1，2），F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)$\frac{AM}{3}$+MF取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．

Answer 1

分析 首先利用橢圓的第二定義把關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步利用橢圓的方程求出離心率及準(zhǔn)線方程，進(jìn)一步利用三點(diǎn)共線求得M的坐標(biāo)．

解答 解：由橢圓的第二定義：e=$\frac{|MF|}ewtzmmv$，
d代表M到右準(zhǔn)線的距離，用|MP|=d，
d=$\frac{|MF|}{e}$，
由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
右準(zhǔn)線方程為：x=9，
$\frac{AM}{3}$+MF=$\frac{1}{3}$（AM+3MF）=$\frac{1}{3}$（AM+d）=$\frac{1}{3}$（AM+MP），
即當(dāng)M、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，$\frac{AM}{3}$+MF取得最小值，
令y=2，可得x=3$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即有M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．
故答案為：（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的第二定義，橢圓的離心率，準(zhǔn)線方程，以及三點(diǎn)共線問題．