Question

6．已知定義域為R的函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²．
（1）求f（2011）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=f（x）-lgx，求函數(shù)g（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）由周期函數(shù)的特征可寫出f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象，從而可判斷函數(shù)g（x）的零點的個數(shù)為10．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）∵函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又∵當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²，
∴f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象如下，

函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象有10個交點，
故函數(shù)g（x）的零點的個數(shù)為10．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應用及函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應用，屬于中檔題．