Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$，g（x）=log₂f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的定義域，并判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，關(guān)于x的方程|f（a^x）|²+m|（f（a^x）|+2m+3=0在區(qū)間（0，+∞）上還有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$＞0，從而求函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）可知y=a^x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且0＜a^x＜1；而當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$的值域?yàn)椋?1，+∞）；從而判斷方程x²+mx+2m+3=0的兩根可能位置，從而求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$＞0，
即$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?\frac{1}{3}$，1）；
f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$=-3-$\frac{2}{x-1}$，
故f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函數(shù)，
又∵y=log₂x在定義域上是增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）∵0＜a＜1，∴y=a^x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且0＜a^x＜1；
而當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$的值域?yàn)椋?1，+∞）；
則方程x²+mx+2m+3=0的兩根可能為x₁=0，x₂∈（0，1）；
此時(shí)，2m+3=0，解得，m=-$\frac{3}{2}$；x₂=$\frac{3}{2}$，不成立；
方程x²+mx+2m+3=0的兩根可能為x₁=1，x₂∈（0，1）；
此時(shí)可解得，m=-$\frac{4}{3}$，x₁=1，x₂=$\frac{1}{3}$，成立；
故方程x²+mx+2m+3=0的兩根可能為x₁∈（1，+∞），x₂∈（0，1）；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+3）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2m+3＞0}\\{1+m+2m+3＜0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m＜$-\frac{4}{3}$；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-$\frac{3}{2}$，$-\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了絕對(duì)值方程的解法與應(yīng)用，屬于難題．