Question

20．已知函數(shù)f（x）=（ax²+2x-2）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=1，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＜0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=-2，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+m$的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線的方程；
（2）求出導數(shù)，對a討論，a=-1，-1＜a＜0，a＜-1，解不等式，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意可得f（x）-g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點，即y=m與$y=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$的圖象有3個不同的交點，
令$F（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，只要令m介于兩極值之間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²+2x-2）e^x，的導數(shù)為f′（x）=x（x+4）e^x，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為5e，切點為（1，e），
即有切線方程為y-e=5e（x-1），即為切線5ex-y-4e=0；
（2）$f'（x）=ax（x+\frac{2a+2}{a}）{e^x}$，
因為a＜0，所以a=-1時，f'（x）≤0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上遞減；
-1＜a＜0時，f（x）在（-∞，0）和$（-\frac{2a+2}{a}，+∞）$上遞減，在$（0，-\frac{2a+2}{a}）$上遞增；
a＜-1時，f（x）在$（-∞，-\frac{2a+2}{a}）$和（0，+∞）上遞減，在$（-\frac{2a+2}{a}，0）$上遞增；
綜上，a=-1時，f（x）的減區(qū)間為R；
-1＜a＜0時，f（x）的增區(qū)間為$（0，-\frac{2a+2}{a}）$，減區(qū)間為（-∞，0）和$（-\frac{2a+2}{a}，+∞）$；
a＜-1時，f（x）的增區(qū)間為$（-\frac{2a+2}{a}，0）$，減區(qū)間為$（-∞，-\frac{2a+2}{a}）$和（0，+∞）；
（3）a=-2時，可得$f（x）-g（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-m$，
原問題等價于f（x）-g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點，
即y=m與$y=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$的圖象有3個不同的交點，
令$F（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$，
F'（x）=-x（x+1）（2e^x+1），
令F'（x）=0，x=0或x=-1，
x∈（-∞，-1）∪（0，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上遞減；
x∈（-1，0），F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在和（-1，0）上遞增；    
所以F（x）在x=-1時去的極小值$F（-1）=-\frac{6}{e}-\frac{1}{6}$，F(xiàn)（x）在x=0時取得極大值F（0）=-2，
所以$m∈（-\frac{6}{e}-\frac{1}{6}，-2）$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．