Question

13．若A-B=$\frac{π}{6}$，tanA-tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則cosA•cosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的正切公式求得 tanA 和tanB 的值，可得cosA和cosB的值，從而求得cosAcosB的值．

解答 解：若A-B=$\frac{π}{6}$，tanA-tanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ①，則tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
求得tanA•tanB=1②．
結(jié)合①②求得tanA=$\sqrt{3}$，tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；或 tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanB=-$\sqrt{3}$．
當(dāng)tanA=$\sqrt{3}$，tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，可以令A(yù)=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$，求得cosA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
或 tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanB=-$\sqrt{3}$ 時，可以令A(yù)=-$\frac{π}{6}$，B=-$\frac{π}{3}$，求得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$，cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．