Question

8．設(shè)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$，則z=x²+（y-4）²的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{2}}{2}，\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由z=x²+（y-4）²的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（0，4）的距離求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

z=x²+（y-4）²的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（0，4）的距離．
由圖可知z=x²+（y-4）²的最小值為（0，4）到直線x-y+1=0的距離的平方，等于$（\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}）^{2}=\frac{9}{2}$；
最大值為（0，4）與C（4，5）兩點(diǎn)間的距離的平方，等于17．
∴z=x²+（y-4）²的取值范圍是[$\frac{9}{2}，17$]．
故答案為：[$\frac{9}{2}，17$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．