Question

10．設數(shù)列{a_n}的前n項為S_n，且滿足2S_n-na_n=10n．證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 當n=1時，求得a₁=10，再將n換成n-1，相減后，再將n換成n-1，化簡整理，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，即可得證．

解答 證明：當n=1時，a₁=S₁，且2S₁-a₁=10．
解得a₁=10，
當n＞1時，2S_n-na_n=10n，
即有2S_n-1-（n-1）a_n-1=10（n-1）．
兩式相減，可得2a_n-na_n+（n-1）a_n-1=10，
將n換成n-1可得，2a_n-1-（n-1）a_n-1+（n-2）a_n-2=10，
即有（2-n）a_n+（n-1）a_n-1=（3-n）a_n-1+（n-2）a_n-2，
（2-n）a_n-2+（2-n）a_n=2（2-n）a_n-1．
即為a_n-2+a_n=2a_n-1．即有a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁．
由等差數(shù)列的定義可得，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關系，考查等差數(shù)列的判斷：運用等差中項，考查推理能力，屬于中檔題．