Question

9．過函數(shù)f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象上一點作切線l，l與x軸、y軸的交點分別為A、B，則|AB|的最小值為4．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，0），B（0，b），則直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，運用直線和圓相切的條件：d=r，再由基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）的圖象是半圓x²+y²=4（y≥0），
設(shè)A（a，0），B（0，b），則直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，
因為直線l與半圓x²+y²=4（y≥0）相切，
所以圓心到直線l的距離為$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=2，即4（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=1，
于是a²+b²=4（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）≥4•2|ab|•2|$\frac{1}{ab}$|=16，
則|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥4，a=b時取最小值4．
故答案為：4．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓相切的條件：d=r，考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．