Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，$\frac{π}{2}≤α＜π$），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）討論直線l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）過極點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為P，求點(diǎn)P的軌跡與圓C相交所得弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l為過定點(diǎn)A（0，1），傾斜角在$[{\frac{π}{2}，π}）$內(nèi)的一條直線，圓C的方程為（x-1）²+y²=1，即可討論直線l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）過極點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為P，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即可求點(diǎn)P的軌跡與圓C相交所得弦長．

解答 解：（Ⅰ）直線l為過定點(diǎn)A（0，1），傾斜角在$[{\frac{π}{2}，π}）$內(nèi)的一條直線，
圓C的方程為（x-1）²+y²=1，∴當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，直線l與圓C有1個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{π}{2}＜α＜π$時(shí)，直線l與圓C有2個(gè)公共點(diǎn)
（Ⅱ）依題意，點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上，可得軌跡極坐標(biāo)方程為$ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴點(diǎn)P的軌跡與圓C相交所得弦長是$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．