Question

7．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，前n項和為S_n，公差為d．若數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也是公差為d的等差數(shù)列，則{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{2n-1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．a(chǎn)_n＞0.$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，化簡n≠1時可得：a₁=（n-1）d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{n}{2}$d．分別令n=2，3，解出即可得出．

解答 解：由題意可得：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．a(chǎn)_n＞0．
$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，可得：S_n=a₁+（n-1）²d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$（n-1）d．
∴na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=a₁+（n-1）²d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$（n-1）d．
n≠1時可得：a₁=（n-1）d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{n}{2}$d．
分別令n=2，3，可得：a₁=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-d，a₁=2d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{3}{2}$d．
解得a₁=$\frac{1}{4}$，d=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{2n-1}{4}$．
故答案為：$\frac{2n-1}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．