Question

14．已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）．
（1）若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求實數(shù)k的值；
（2）若不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$}，求實數(shù)k的值；
（3）若不等式的解集是實數(shù)集，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程與對應的不等式的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值；
（2）需要分類討論，當k＞0時，開口向上，二次函數(shù)小于0總會要限定x范圍的，不符合題意，當k＜0是，由題意得到△=0，解得即可，
（3）根據(jù)題意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范圍

解答 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，
∴k＜0，且-3和-2是方程kx²-2x+6k=0的實數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得；
（-3）+（-2）=$\frac{2}{k}$，
∴k=-$\frac{2}{5}$；
（2）由于k≠0，故可看作二次函數(shù)，y=kx²-2x+6k，
當k＞0時，開口向上，二次函數(shù)小于0總會要限定x范圍的，不行；
當k＜0是，開口向下，∵kx²-2x+6k＜0，
∴△=4-24k²≤0，
∵不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$}，
∴△=0，
解得k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）當k=0時，不等式即x＞，滿足不等式kx²-2x+6k＜0的解集為全體實數(shù)R．
當k＞0時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿足kx²-2x+6k＜0的解集為全體實數(shù)R．
當k＜0時，得△＜0，即4-24k²＜0；
解得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是 k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了利用基本不等式求函數(shù)最值的問題，是綜合性題目．