Question

5．已知a＞0，b＞0，則$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$的最小值為6．

Answer 1

分析 變形可得$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$≥$\frac{4ab+{a}^{2}^{2}+1}{ab}$=4+ab+$\frac{1}{ab}$≥4+2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$，解出兩次等號(hào)成立的條件即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，∴$\frac{（a+b）^2+a^2b^2+1}{ab}$
=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab+{a}^{2}^{2}+1}{ab}$≥$\frac{4ab+{a}^{2}^{2}+1}{ab}$
=4+ab+$\frac{1}{ab}$≥4+2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$=6
當(dāng)且僅當(dāng)a=b且ab=$\frac{1}{ab}$即a=b=1時(shí)取等號(hào)，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，注意兩次等號(hào)同時(shí)成立是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．