Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$，若a＜b，f（a）=f（b），則實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$-1）
• B． （-∞，1-$\frac{1}{e}$）
• C． （-∞，2-$\frac{1}{e}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{e}$-2）

Answer 1

分析 畫(huà)同函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$的圖象，結(jié)合a＜b，且f（a）=f（b），表示出a-2b，利用導(dǎo)數(shù)法求出其上確界，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若a＜b，f（a）=f（b），
則2b-1=e^a，則a-2b=a-e^a-1，a≤-1，
令y=a-e^a-1，a≤-1，
則y′=1-e^a，a≤-1，
此時(shí)e^a≤$\frac{1}{e}$，則y′＞0恒成立，
故y=a-e^a-1＜y|_a=-1=-$\frac{1}{e}$-2，
即實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$-2），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，是解答的關(guān)鍵．