Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為板軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）消掉t化直線的參數(shù)方程為普通方程，可得在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是$\frac{π}{3}$，由此求得直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）把直線的極坐標(biāo)方程代入ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，化為關(guān)于ρ的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及ρ的幾何意義求AB的長．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，得y=$\sqrt{3}x$，
∴在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是$\frac{π}{3}$，
因此，直線l的極坐標(biāo)方程是θ=$\frac{π}{3}$，（ρ∈R）；
（2）把θ=$\frac{π}{3}$代入曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，得ρ²-$\sqrt{3}$ρ-3=0，
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得ρ₁+ρ₂=$\sqrt{3}$，ρ₁ρ₂=-3，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-4×（-3）}=\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了普通方程化極坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了利用極坐標(biāo)法求直線被圓錐曲線所截弦長問題，是基礎(chǔ)題．