Question

3．三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，則點A到面PBC的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；此球的表面積為6π．

Answer 1

分析 由題意三棱錐的側棱PB的中點到P、A、B、C的距離相等，則PB就是三棱錐外接球的直徑，求出PB即可求出球的表面積，利用等積法，可得點A到面PBC的距離．

解答 解：由題意可知，三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，
∵PA⊥地面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，∠ACB=90°，
△PCB是直角三角形，△PAB是直角三角形，
所以側棱PB的中點到P、A、B、C的距離相等，
則PB就是三棱錐外接球的直徑，AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，
球的半徑為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此球的表面積為：4π（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
又∵PC=$\sqrt{5}$，
故△_PBC的面積S=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×1$）×2=$\frac{1}{3}$，
設點A到面PBC的距離為d，則$\frac{1}{3}dS=V$，
解得：d=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，6π，

點評 本題考查空間想象能力，計算能力，解題關鍵是找出外接球的直徑就是側棱PB，仔細分析題意，是解好題目的前提