Question

19．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均相等，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱CC₁上，且CC₁=4CF
（Ⅰ）求證：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （I）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC為y軸、AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，這直線垂直可轉(zhuǎn)化為向量垂直，計算即可；
（II）所求值即為平面AEF的一個法向量與平面AC₁的一個法向量的夾角的余弦值，計算即可．

解答 （I）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC為y軸、AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則由已知可得A（0，0，0），B（2$\sqrt{3}$，2，0），C（0，4，0），
A₁（0，0，4），E（$\sqrt{3}$，3，0），F(xiàn)（0，4，1），
于是$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，-4，4），$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
∵$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=（0，-4，4）•（-$\sqrt{3}$，1，1）=0-4+4=0，
∴EF⊥A₁C；
（II）解：設(shè)平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則由（I）得$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，4，1）$，
于是由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AF}$，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y=0}\\{4y+z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，-1，4）$，
又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（1，0，0）$，
$cosθ=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，
∴所求二面角C-AF-E的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線面關(guān)系及面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．