Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點F關(guān)于直線x-2y=0對稱的點在圓x²+y²=4上．
（1）求此橢圓的方程．
（2）設(shè)M是橢圓C上異于長軸端點的任意一點，試問在x軸上是否存在兩個定點A、B，使得直線MA、MB的斜率之積為定值？若存在，則求出這兩個定點及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由右焦點F（c，0）關(guān)于直線x-2y=0對稱的點$（\frac{3c}{5}，\frac{4c}{5}）$在圓x²+y²=4上．代入即可得出c，再利用$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²．即可得出．
（2）設(shè)A（s，0），B（t，0），M（x₀，y₀）．則k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st}$，由于${y}_{0}^{2}=4（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{8}）$，可得k_MA•k_MB=$\frac{8-{x}_{0}^{2}}{2[{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st]}$，要使上述值為定值，則必有：s+t=0，st=-8，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)右焦點F（c，0）關(guān)于直線x-2y=0對稱的點P（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+c}{2}-2×\frac{y+0}{2}=0}\\{\frac{n}{m-c}×\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3c}{5}}\\{n=\frac{4c}{5}}\end{array}\right.$，
∵點P$（\frac{3c}{5}，\frac{4c}{5}）$在圓x²+y²=4上．
∴$（\frac{3c}{5}）^{2}+（\frac{4c}{5}）^{2}$=4，解得c=2．
∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=8，b²=4．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)A（s，0），B（t，0），M（x₀，y₀）．
則k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-s}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st}$，
∵${y}_{0}^{2}=4（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{8}）$，
∴k_MA•k_MB=$\frac{8-{x}_{0}^{2}}{2[{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st]}$，
要使上述值為定值，則必有：s+t=0，st=-8，
解得s=-t=±2$\sqrt{2}$．
∴可取A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$．
則k_MA•k_MB=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、定值問題、點對稱問題、垂直平分線性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．