Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且$\frac{5}{2}$≤|AF|•|BF|$≤\frac{11}{4}$，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件即可得出斜率的取值范圍．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直線l過焦點(diǎn)F，∴△＞0，
且x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|FA|=$\sqrt{{{（x}_{1}-1）}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-1|，
同理|FB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-1|，
故|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|=$\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
由 $\frac{5}{2}$≤|FA|•|FB|$≤\frac{11}{4}$，
∴$\frac{5}{2}≤\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}≤\frac{11}{4}$，
解得$\frac{3}{8}$≤k²≤$\frac{3}{2}$．
所以直線l的斜率k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$]∪[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

點(diǎn)評 熟練掌握橢圓的定義及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題的解題方法、根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法是解題的關(guān)鍵．