Question

20．已知函數x²=4y的焦點是F，直線l與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l過焦點F且斜率為1，求線段AB的長；
（Ⅱ）若直線l與y軸不垂直，且|FA|+|FB|=3．證明：線段AB的中垂線恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意寫出直線方程的斜截式，聯立直線方程和拋物線方程，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系結合焦半徑公式求得答案；
（Ⅱ）設直線l的方程y=kx+b，聯立直線方程和拋物線方程，由|FA|+|FB|=3得到k與b的關系，利用根與系數的關系求得A，B的中點坐標，由線段AB的中點為定點可得答案．

解答 （Ⅰ）解：由x²=4y，得拋物線焦點F（0，1），
則直線l的方程為y=x+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得y²-6y+1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=6，
∴|AB|=y₁+y₂+2=8；
（Ⅱ）證明：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
設直線l的方程為y=kx+b，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得y²-（4k²+2b）y+b²=0．
則${y}_{1}+{y}_{2}=4{k}^{2}+2b$，
∴|FA|+|FB|=${y}_{1}+{y}_{2}+2=4{k}^{2}+2b+2=3$，
則${k}^{2}=\frac{1-2b}{4}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}={y}_{1}+{y}_{2}-2=4{k}^{2}+2b-2$，
∴A，B的中點坐標為（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
則AB的中垂線恒過定點（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查了拋物線的焦半徑公式，考查直線與拋物線位置關系的應用，是中檔題．