Question

4．定義：從一個數(shù)列{a_n}中抽取若干項（不少于三項）按其在{a_n}中的次序排列的一列數(shù)叫做{a_n}的子數(shù)列，成等差（比）的子數(shù)列叫做{a_n}的等差（比）子列．
（1）求數(shù)列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$的等比子列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是各項均為實數(shù)的等比數(shù)列，且公比q≠1．
（i）試給出一個{a_n}，使其存在無窮項的等差子列（不必寫出過程）；
（ii）若{a_n}存在無窮項的等差子列，求q的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求等比子數(shù)列含原數(shù)列中的連續(xù)項的個數(shù)為k（1≤k≤3，k∈N^*），討論k=1，k=2，k=3，由新定義，即可得到；
（2）（i）形如：a₁，-a₁，a₁，-a₁，a₁，-a₁，…（a₁≠0，q=-1）均存在無窮項，等差子數(shù)列：a₁，a₁，a₁，…或-a₁，-a₁，-a₁，
（ii）設(shè){${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*，n_k∈N^*）為{a_n}的等差子數(shù)列，公差為d，當(dāng)|q|＞1時，當(dāng)|q|＜1時，運用等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，判斷推理，即可得到q=-1．

解答 解：（1）設(shè)所求等比子數(shù)列含原數(shù)列中的連續(xù)項的個數(shù)為k（1≤k≤3，k∈N^*），
當(dāng)k=2時，①設(shè)$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{m}$成等比數(shù)列，則$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{m}$，即m=n+$\frac{1}{n}$+2，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，m∈N^*，此時m=4，所求等比子數(shù)列為1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；
②設(shè)$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$成等比數(shù)列，則$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{m}$，即m=n+1+$\frac{1}{n+1}$-2∉N^*；
當(dāng)k=3時，數(shù)列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$均不成等比，
當(dāng)k=1時，顯然數(shù)列1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$不成等比；
綜上，所求等比子數(shù)列為1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（2）（i）形如：a₁，-a₁，a₁，-a₁，a₁，-a₁，…（a₁≠0，q=-1）均存在無窮項，
等差子數(shù)列：a₁，a₁，a₁，…或-a₁，-a₁，-a₁，
（ii）設(shè){${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*，n_k∈N^*）為{a_n}的等差子數(shù)列，公差為d，
當(dāng)|q|＞1時，|q|ⁿ＞1，取n_k＞1+log_|q|$\frac{|d|}{|{a}_{1}|•（|q|-1）}$，
從而$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＞$\frac{|d|}{|{a}_{1}|•（|q|-1）}$，
故|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|a₁${q}^{{n}_{k+1}-1}$-a₁${q}^{{n}_{k}-1}$|=|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$-1|
≥|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•（|q|-1）＞|d|，
這與|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|d|矛盾，故舍去；
當(dāng)|q|＜1時，|q|ⁿ＜1，取n_k＞1++log_|q|$\frac{|d|}{2|{a}_{1}|}$，
從而$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＜_|$\frac{|d|}{2|{a}_{1}|}$，
故|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|a₁${q}^{{n}_{k+1}-1}$-a₁${q}^{{n}_{k}-1}$|=|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$-1|≤|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$|+1
＜2|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＜|d|，
這與|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|d|矛盾，故舍去；
又q≠1，故只可能q=-1，
結(jié)合（i）知，q的所有可能值為-1．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，考查推理分析能力，屬于中檔題和易錯題．