Question

13．求證：函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{1-x}$在區(qū)間（-∞，1）上的單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 先分離常數(shù)得到f（x）=$-2+\frac{2}{1-x}$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＜x₂＜1，然后作差，通分，根據(jù)x₁＜x₂＜1便可證明f（x₁）＜f（x₂），從而證出f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．

解答 證明：$f（x）=\frac{-2（1-x）+2}{1-x}=-2+\frac{2}{1-x}$，設(shè)x₁＜x₂＜1，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{1-x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$；
∵x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0；
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）是在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查分離常數(shù)法的運(yùn)用，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差法比較f（x₁）與f（x₂），作差后，是分式的一般需通分．