Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=1，則直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何性質(zhì)得出直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角為∠A₁BC₁，轉(zhuǎn)化為直角三角形Rt△A₁C₁B求解，利用邊長的關(guān)系求解．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°
∴A₁C₁⊥CC₁，A₁C₁⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁，
∴A₁C₁⊥面BCC₁，
∴直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角為∠A₁BC₁，
∵CA=CB=CC₁=1，AB=$\sqrt{2}$
∴Rt△A₁C₁B中A₁C₁=1，A₁B=$\sqrt{3}$，
∴sin∠A₁BC₁=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點評 本題綜合考查了直棱柱的幾何性質(zhì)，運用平面問題求解空間角，注意空間思維能力，運算能力的考察，屬于中檔題．