Question

6．如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，CE=2，求直線EF與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連接AC，交BD于點(diǎn)O，由正方形的性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直的性質(zhì)，可得AF⊥BD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACEF，進(jìn)而B(niǎo)D⊥EF；
（Ⅱ）連接OE，OF，過(guò)E作EH⊥OF交于點(diǎn)H，可得∠EFH即為直線EF與平面BDF所成的角，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O．
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（2分）
∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BD；…（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF?平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF，…（6分）
又∵EF?平面ACEF，
∴BD⊥EF； …（7分）
（Ⅱ）解：連接OE，OF，由（Ⅰ）知，BD⊥平面ACEF，
∴平面BDF⊥平面ACEF，
過(guò)E作EH⊥OF交于點(diǎn)H，則EH⊥平面BDF，
∴∠EFH即為直線EF與平面BDF所成的角．…（10分）
在△EFO中，EF=3，F(xiàn)O=$\sqrt{3}$，EO=$\sqrt{6}$，
∴△EFO為直角三角形（H點(diǎn)為O點(diǎn)）
∴sin∠EFH=$\frac{EO}{EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．