Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若數(shù)列{a_m}的通項公式為a_m=${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$（m∈N^*），求證：a₁•a₂…a_m＜3（m∈N^*）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出f（x）的導數(shù)，利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間，注意定義域的運用；
（2）與數(shù)列有關的證明題，常用放縮法來解決．由函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上為減函數(shù)，再由放縮法，結合等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 （1）解：由題意，函數(shù)的定義域為（-1，1）∪（1，+∞），
f′（x）$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1-x）^{2}}$=$\frac{x（x-3）}{（x+1）（x-1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞3或-1＜x＜0；由f′（x）＜0，可得1＜x＜3．
則有f（x）的增區(qū)間為（-1，0），（3，+∞），減區(qū)間為（0，1），（1，3）；
（2）證明：由（1）知，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上為減函數(shù)，
則當0＜x＜1時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$＜f（0）=0，
即ln（1+x）＜$\frac{x}{1-x}$，
令x=$\frac{1}{2013×{2}^{m}+1}$，則ln（1+$\frac{1}{2013×{2}^{m}+1}$）＜$\frac{1}{2013×{2}^{m}}$，
即ln${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$＜$\frac{1}{{2}^{m}}$，
所以am=${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$＜${e}^{\frac{1}{{2}^{m}}}$，
又a_m＞0，
所以a₁•a₂…a_m＜${e}^{\frac{1}{2}}$•${e}^{\frac{1}{4}}$…${e}^{\frac{1}{{2}^{m}}}$=${e}^{1-\frac{1}{{2}^{m}}}$＜e＜3．
即有a₁•a₂…a_m＜3（m∈N^*）．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握證明不等式成立時所常用的方法．