Question

1．已知Rt△ABC的斜邊BC在平面α內，兩直角邊AB、AC與平面α所成角分別為30°和45°．A在α上射影為E．
（1）求斜邊BC上的高AD與平面α所成的角及AB與平面ADE所成的角．
（2）設△ABC的面積為S，求△ABC在α上的射影三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）設AE=x，則AB=2x，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$x，求出AD，AB⊥平面CDE，∠ADE是AD與平面α所成的角，由此能求出AD與平面α所成的角．∠ABD就是AB與平面ADE所成的角，求解即可．
（2）直接利用二面角的大小，求解DE，然后求解面積即可．

解答 解：（1）如圖：
∵AE⊥α，∴DE⊥BC，AE⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ACE是AC和α所成的角，即∠CAE=45°，
∠ABE是BC和α所成的角，即∠ABE=30°，
設AE=x，則AC=2x，AC=$\sqrt{2}$x，
∵AC⊥AB，∴AB=$\sqrt{6}$x，AD=$\frac{2\sqrt{2}{x}^{2}}{\sqrt{6}x}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}x$，
CD⊥AD，AE⊥BC，
∴BC⊥平面ADE，
DE⊥BC，
∴∠ADE是AD與平面α所成的角，
sin∠CDE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{x}{\frac{2}{\sqrt{3}}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∴AD與平面α所成的角為60°．
由BC⊥平面ADE，
可知∠ABD就是AB與平面ADE所成的角，sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}x}{2x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠ABD=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）因為AD與平面α所成的角為60°．
所以，可得cos60°=$\frac{DE}{AD}$，DE=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，△ABC的面積為S，所以S=$\frac{1}{2}BC•AD$=$\frac{1}{2}BC\frac{2}{\sqrt{3}}x$=$\frac{BC•x}{\sqrt{3}}$，
△ABC在α上的射影三角形的面積為：$\frac{1}{2}BC•DE$=$\frac{1}{2}BC•\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{S}{2}$．

點評 本題考果直線與平面所成角的求法，二面角的求法與應用，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．