Question

7．設函數f（x）=ae^x-x-2（a∈R），其中e=2.71828…是自然對數的底數．
（1）求函數y=f（x）的極值；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線與x軸平行，且x∈（0，+∝）時，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）²恒成立，求整數k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，判斷單調性，即可得到極值；
（2）求出f（x）的導數和切線的斜率，解得a=1，由k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0）①，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，則g′（x）=$\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．得h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點a，由g（x）_min=g（a）=$\frac{a+1}{{e}^{a}-1}$+a．從而g（a）=a+1∈（2，3）．由于①式等價k＜g（a），故求出整數K的最大值．

解答 解：（1）函數f（x）=ae^x-x-2的導數為f′（x）=ae^x-1，
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上遞減，無極值；
當a＞0時，當x＞ln$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＜ln$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=ln$\frac{1}{2a}$處f（x）取得極小值，且為ln（2a）-$\frac{3}{2}$．
即有當a≤0時，f（x）無極值；當a＞0時，f（x）有極小值ln（2a）-$\frac{3}{2}$．無極大值．
（2）函數f（x）=ae^x-x-2的導數為f′（x）=ae^x-1，
在點（0，f（0））處的切線斜率為k=a-1=0，解得a=1，
由x∈（0，+∞）時，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）²恒成立，
即k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0）①，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，則g′（x）=$\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
由（1）知，函數h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點a，
且a∈（1，2）．
當x∈（0，a）時，g'（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，g'（x）＞0，
所以g（x）_min=g（a）=$\frac{a+1}{{e}^{a}-1}$+a．
又由g'（a）=0，即得e^a-a-2=0，所以e^a=a+2，
這時g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等價k＜g（a），
故整數k的最大值為2．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，同時考查導數的幾何意義，不等式恒成立思想和分類討論的思想，屬于中檔題和易錯題．