Question

13．求函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[0，2]上的最值．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x-a）²-a²-1，它的對稱軸方程為x=a，再分①當a＜0時、②當 0≤a＜1時、③當 1≤a＜2時、④當a≥2時四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1，它的對稱軸方程為x=a，
①當a＜0時，函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
故函數(shù)的最小值為f（0）=-1，最大值為f（2）=3-4a．
②當 0≤a＜1時，函數(shù)的最小值為f（a）=-1-a²，最大值為f（2）=3-4a．
③當 1≤a＜2時，函數(shù)的最小值為f（a）=-1-a²，最大值為f（0）=-1．
④當a≥2時，函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為f（0）=-1，最小值為f（2）=3-4a．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬基礎題．