Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{ln（x+1）}$-$\frac{1}{x}$，若x∈（0，1]，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．求出導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，求出導(dǎo)數(shù)，再令u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，求出導(dǎo)數(shù)，判斷u（x）的單調(diào)性，可得g（x）的單調(diào)性，即有（1+x）ln²（x+1）-x²＜0，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得f（x）在（0，1]遞減，可得f（1）取得最小值．

解答 解：∵函數(shù)g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．
∴g′（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，
則h′（x）=$\frac{2ln（x+1）-2x}{x+1}$．
設(shè)u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
則u′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1＜0，
∴u（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴u（x）＜u（0）=0．
∴h′（x）=$\frac{2ln（x+1）-2x}{x+1}$＜0，
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴g′（x）＜g′（0）=0，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
有g(shù)（1）≤g（x）＜g（0）=0，即g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²＜0，
則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{ln（x+1）}$-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{（x+1）l{n}^{2}（x+1）}$
=$\frac{（x+1）l{n}^{2}（x+1）-{x}^{2}}{{x}^{2}（x+1）l{n}^{2}（x+1）}$＜0，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，于是f（1）≤f（x）＜f（0），
∴f（x）在（0，1]上的最小值為f（1）=$\frac{1}{ln2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并運(yùn)用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．