Question

8．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•3^n-1}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$，可得當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$，
∴當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）-（n-1）^{2}}{2}$=2-n，
又n=1時也滿足．
∴a_n=2-n．
（2）設數(shù)列{a_n•3^n-1}的前n項和為S_n．
∴S_n=1+0-3²-3³-…+（2-n）•3^n-1，
3S_n=3+0-3³-…+（3-n）•3^n-1+（2-n）•3ⁿ，
兩式相減得-2S_n=1-3-3²-…-3^n-1-（2-n）•3ⁿ=2-$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（2-n）•3ⁿ=$\frac{5}{2}-\frac{5-2n}{2}•{3}^{n}$，
∴S_n=$\frac{5-2n}{4}•{3}^{n}$-$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．