Question

7．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥a}\\{x-y≤-1}\end{array}\right.$，且z=x+ay的最小值為7，則a=3．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后對a進行分類，利用數(shù)形結合結合分類討論建立方程關系即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-1}{2}}\\{y=\frac{a+1}{2}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{a-1}{2}$，$\frac{a+1}{2}$）．
①當a=0時A為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），z=x+ay的最小值為-$\frac{1}{2}$，不滿足題意；
②當a＜0時，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
要使z最小，則直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$在y軸上的截距最大，滿足條件的最優(yōu)解不存在；
③當a＞0時，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖可知，當直線過點A時直線在y軸上的截距最小，z最�。�
此時z=$\frac{a-1}{2}$+a•$\frac{a+1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+2a-1}{2}$=7．
即a²+2a-15=0
解得：a=3或a=-5（舍）．
故答案為：3．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，解答的關鍵是注意分類討論，是中檔題．