Question

13．當(dāng)$0＜x≤\frac{1}{2}$時(shí)，不等式4^x＜log_ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式4^x＜log_ax恒成立，則在0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分析畫(huà)出指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．

解答 解：當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示：

若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點(diǎn)時(shí)，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，
故答案為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．