Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c．
（1）當b=c=0時，曲線f（x）的一條切線的斜率是2，求切點坐標及切線方程；
（2）若f（x）在x=-1處有極值2，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）當b=c=0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．
（2）由函數(shù)f（x）=x²+bx+c在x=1處取得極值2，可得f（1）=2，f′（1）=0，可求得b，c的值；

解答 解：（1）當b=c=0時，函數(shù)f（x）=x²，設(shè)切點為P（x₀，y₀），∵y′=2x，切線的斜率為2．
∴2x₀=2，∴x₀=1，y₀=1²=1．
∴切點為P（1，1）．切線方程為：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）f（x）=x²+bx+c，f′（x）=2x+b，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}f′（1）=2+b=0\\ f（1）=1+b+c=2\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$．

點評 考查函數(shù)在某點取得極值的條件和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，體現(xiàn)了解方程的思想方法，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．