Question

12．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$；
（3）y=2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
（4）y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$；
（5）若x，y滿足3x²+2y²=6x，求函數(shù)z=x²+y²的值域；
（6）f（x）=|2x+1|-|x-4|

Answer 1

分析 （1）化簡y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，從而求函數(shù)的值域；
（2）化簡y=2x+$\sqrt{1-x}$=-2（1-x）+$\sqrt{1-x}$+2=-2（$\sqrt{1-x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，從而求函數(shù)的值域；
（3）利用換元法令x=sina，$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$），從而化簡求函數(shù)的值域；
（4）化簡分離y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$，從而求函數(shù)的值域；
（5）3x²+2y²=6x可化為（x-1）²+$\frac{2}{3}$y²=1；故令x=1+cosa，y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sina；從而化簡求函數(shù)的值域；
（6）作函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|的圖象，從而求函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$；
故函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1]；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$
=-2（1-x）+$\sqrt{1-x}$+2
=-2（$\sqrt{1-x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$；
故函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≤$\frac{17}{8}$}；
（3）y=2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
令x=sina，$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$）；
故y=2sina+cosa=$\sqrt{5}$sin（a+θ），
（其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
故-2≤2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\sqrt{5}$；
故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，$\sqrt{5}$]；
（4）y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$；
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪[4，+∞）；
（5）3x²+2y²=6x可化為（x-1）²+$\frac{2}{3}$y²=1；
令x=1+cosa，y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sina；
故z=x²+y²=1+cos²a+2cosa+$\frac{3}{2}$sin²a
=-$\frac{1}{2}$（cosa-2）²+$\frac{9}{2}$；
∵1≤（cosa-2）²≤9；
∴0≤-$\frac{1}{2}$（cosa-2）²+$\frac{9}{2}$≤4；
故函數(shù)z=x²+y²的值域?yàn)閇0，4]；
（6）作函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|的圖象如下，

當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=-$\frac{9}{2}$；
故函數(shù)的值域?yàn)閇-$\frac{9}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域的求法，根據(jù)不同的問題選擇不同的方法即可．