Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-b，若f（x）≥0恒成立，則ab的最大值為$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導數(shù)，再分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b的最小值為f（x）＞-b≥0，
得b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)單調增，x→-∞，此時f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，則得極小值點x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
現(xiàn)求g（a）的最小值：由g′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得極小值點a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
所以ab的最大值為$\frac{e}{2}$，
故答案為：$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．