Question

13．如圖，四邊形ABCD與四邊形ABEF都是正方形，且二面角D-AB-F的大小為60°，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知得∠DAF=60°，CD⊥平面DAF，AD∥BC，∠FBC是異面直線AD與BF所成角，由此利用余弦定理能求出異面直線AD與BF所成角的余弦值．

解答 解：∵四邊形ABCD與四邊形ABEF都是正方形，且二面角D-AB-F的大小為60°，
∴∠DAF=60°，CD⊥平面DAF，AD∥BC，
設(shè)AB=a，則DF=a，F(xiàn)C=BF=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
∵AD∥BC，∴∠FBC是異面直線AD與BF所成角，
由余弦定理得cos∠FBC=$\frac{B{F}^{2}+B{C}^{2}-C{F}^{2}}{2•BF•BC}$=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴異面直線AD與BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．