Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓與P，Q兩點(diǎn)
（1）求橢圓的方程
（2）在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求出b，根據(jù)離心率求出a，即可就出橢圓方程；
（2）先假設(shè)線段OF上存在M滿足條件，先考慮兩種特殊情況：l⊥x軸、l與x軸重合，在考慮一般情況：l的斜率存在且不為0，設(shè)出l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用坐標(biāo)來表示向量的數(shù)量積，從而得出答案．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由橢圓短軸長為2得b=1，又e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，
所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$…（3分）
（2）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0≤m≤1），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0成立，
可得|$\overrightarrow{MP}$|²-|$\overrightarrow{MQ}$|²=0即|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|
①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，顯然線段OF上的點(diǎn)都滿足條件，此時(shí)0≤m≤1…（5分）
②當(dāng)l與x軸重合時(shí)，顯然只有原點(diǎn)滿足條件，此時(shí)m=0…（6分）
③當(dāng)l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$  可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{MP}=（{x}_{1}-m，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{x}_{2}-m，{y}_{2}）$其中x₂-x₁≠0
∵（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0⇒（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
⇒2k²-（2+4k²）m=0⇒m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k≠0）．
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．
∴綜上所述：①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，存在0≤m≤1適合題意
②當(dāng)l與x軸重合時(shí)，存在m=0適合題意
③當(dāng)l的斜率存在且不為零時(shí)存在0＜m＜$\frac{1}{2}$適合題意…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的關(guān)系，本題中利用坐標(biāo)來表示向量是突破問題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了學(xué)生分情況討論的思想．